一、图

1.什么是图

表示“多对多”的关系，包含了：

一组顶点：通常用 V(Vertex)表示顶点集合
一组边：通常用 E(Edge)表示边的集合
无向边是顶点对：(v，w) ∈ E，其中 v，w∈V
有向边<v,w>表示从 v 指向 w 的边(单行线)
不考虑重边和自回路

抽象数据类型定义

类型名称：图(Graph) 数据对象集：G(V,E)由一个非空的有限顶点集合 V 和一个有限边集合 E 组成。操作集：对于任意图 G ∈ Graph,以及 v ∈ V，e ∈ E

Graph Create():建立并返回空图；
Graph InsertVertex(Graph G, Vertex v)：将 v 顶点插入图 G
Graph InsertEdge(Graph G, Edge e):将边 e 插入图 G
void DFS(Graph G, Vertex v):从顶点 v 出发深度优先遍历图 G；
void BFS(Graph G, Vertex v):从顶点 v 出发广度优先遍历图 G；
void ShortestPath(Graph G, Vertex v, int Dist[]):计算图 G 中顶点 v 到其他任意顶点的最短距离；
void MST(Graph G):计算图 G 的最小生成树常用术语：无向图、有向图、网络等……

怎样在程序中表示图

邻接矩阵

在这里插入图片描述邻接矩阵的好处

直观、简单、好理解
方便检查任意一对顶点间是否存在边
方便找任一顶点的所有“邻接点”(有边直接相连的顶点)
方便计算任一顶点的“度”(从该点发出的边数为“出度”，指向该点的边数为“入度”)
- 无向图为对应行(或列)非 0 元素的个数
- 有向图：对应行非 0 元素的个数是出度，对应列非 0 元素的个数是入度

邻接表

指针数组+链表，点很稀疏的时候很合算在这里插入图片描述邻接表的好处：

方便找任一顶点的所有“邻接点”(有边直接相连的顶点)
节约稀疏图的空间
- 需要 N 个头指针 + 2E 个结点（每个结点至少 2 个域）
方便计算无向图任一顶点的“度”，但对有向图只能计算出度。

2.图的遍历

DFS 深度优先搜索

深度优先搜索(Depth First Search,DFS),对每一个可能的分支路径深入到不能再深入为止，而且每个节点只能访问一次. 伪代码描述：

void DFS(Vertex V) {
 visited[V] = true;
 for(v的每个邻接点W)
  if (!visited[W])
   DFS(W);
}

BFS 广度优先搜索

广度优先搜索(Breadth First Search,BFS),借助队列(先进先出)来实现伪代码描述：

void BFS(Vertex V) {
 visited[V] = true;
 Enqueue(V, Q);//将该顶点放入队列中
 while(!IsEmpty(Q)) {//当队列为空时结束搜索
  V = Dequeue(Q);//V为队首元素
  for(V的每个邻接点W) {
   if ( !visited[W] ) {
    visited[W] = true;//标记该点已访问
    Enqueue(W, Q);//将该点压入队列中
   }
  }
 }
}

图不连通怎么办？

路径：V 到 W 的路径是一些列顶点{V，V1，V2，……，Vn，W}的集合，其中任一对相邻的顶点间都有图中的边。路径的长度是路径中的边数(若带权，则是所有边的权重和)。若 V 到 W 之间的所有顶点都不同，则称为简单路径
连通：若 V 到 W 存在一条(无向)路径，则称 V 和 W 是连通的
回路：起点等于终点的路径
连通图：图中任意两顶点均连通
连通分量：无向图的极大连通子图
- 极大顶点数：再加 1 个顶点就不连通了
- 极大边数：包含子图中所有顶点相连的所有边
强连通：有向图中顶点 V 和 W 之间存在双向路径，则称 V 和 W 是强连通的
强连通图：有向图中任意两顶点均强连通
强连通分量：有向图的极大强连通子图

每调用一次 DFS，其实就是把 V 所在的连通分量遍历了一遍。BFS 也一样。

void ListComponents ( Graph G ) {//遍历连通分量
 for (each V in G)
  if ( !visited[V] ) {
   DFS( V );
  }
}

3.如何建立图

(1) 邻接矩阵表示的图的建立

定义

const int MaxVertexNum = 100;
typedef int DataType;
typedef bool WeightType;
typedef struct GNode *PtrToGNode;
struct GNode {
    int Nv;//顶点数
    int Ne;//边数
    WeightType G[MaxVertexNum][MaxVertexNum];
    DataType Data[MaxVertexNum];//存顶点的数据
};
typedef PtrToGNode MGraph;//以邻接矩阵存储的图类型

初始化

初始化一个有 VertexNum 个顶点但没有边的图

typedef int Vertex;
MGraph CreateGraph(int VertexNum) {
    Vertex V, W;
    MGraph Graph;
    Graph = (MGraph) malloc(sizeof(struct GNode));
    Graph->Nv = VertexNum;
    Graph->Ne = 0;
    //顶点编号从0开始，到Graph->Nv-1
    for (V = 0; V < Graph->Nv; V++) {
        for(W = 0; W < Graph->Nv; W++) {
            Graph->G[V][W] = 0; //有向图中可改0为INF等
        }
    }
    return Graph;
}

向图中插入边

边的定义

typedef struct ENode *PtrToENode;
struct ENode {
    Vertex V1, V2;//有向边<V1,V2>
    WeightType Weight;//权重
};
typedef PtrToENode Edge;

插入操作

void InsertEdge(MGraph Graph, Edge E) {
    //插入边<V1,V2>
    Graph->G[E->V1][E->V2] = E->Weight;
    //若为无向图，则还要插入边<V2,V1>
    Graph->G[E->V2][E->V1] = E->Weight;
}

完整的建立一个 MGraph

输入格式

Nv Ne V1 V2 Weight ……

MGraph BuildGraph() {
    MGraph Graph;
    Edge E;
    Vertex V;
    int Nv;
    cin >> Nv;
    Graph = CreateGraph(Nv);//建立有Nv个顶点的图
    cin >> Graph->Ne;//边数Ne
    if(Graph->Ne != 0) {
        E = (Edge)malloc(sizeof(struct ENode));
        for (int i = 0; i < Graph->Ne; i++) {
            cin >> E->V1 >> E->V2 >> E->Weight;
            InsertEdge(Graph, E);
        }
    }
    //如果顶点有数据的话，读入数据
    for(V = 0; V < Graph->Nv; V++) {
        cin >> Graph->Data[V];
    }
    return Graph;
}

(2) 邻接表表示的图的建立

可在邻接矩阵的基础上进行修改

定义

const int MaxVertexNum = 100;
typedef int DataType;
typedef int Vertex;
typedef bool WeightType;
//邻接表定义
typedef struct AdjVNode *PtrToAdjVNode;
struct AdjVNode {
    Vertex AdjV;//邻接点下标
    WeightType Weight;//边权重
    PtrToAdjVNode Next;
};

typedef struct VNode {
    PtrToAdjVNode FirstEdge;
    DataType Data;//存顶点的数据
}AdjList;

typedef struct GNode *PtrToGNode;
struct GNode {
    int Nv;//顶点数
    int Ne;//边数
    AdjList G;//邻接表
};
typedef PtrToGNode LGraph;//以邻接表存储的图类型

LGraph 初始化

LGraph CreateGraph(int VertexNum) {
    Vertex V, W;
    LGraph Graph;
    Graph = (LGraph) malloc(sizeof(struct GNode));
    Graph->Nv = VertexNum;
    Graph->Ne = 0;
    //顶点编号从0开始，到Graph->Nv-1
    for (V = 0; V < Graph->Nv; V++) {
        Graph->G[V].FirstEdge = NULL;
    return Graph;
}

向 LGraph 中插入边

typedef struct ENode *PtrToENode;
struct ENode {
    Vertex V1, V2;//有向边<V1,V2>
    WeightType Weight;//权重
};
typedef PtrToENode Edge;
void InsertEdge(LGraph Graph, Edge E){
    PtrToAdjVNode NewNode;
    //插入边<V1,V2>
    //为V2建立新的邻接点
    NewNode = (PtrToAdjVNode) malloc(sizeof(struct AdjVNode));
    NewNode->AdjV = E->V2;
    NewNode->Weight = E->Weight;
    //将V2邻接点插入V1的表头
    NewNode->Next = Graph->G[E->V1].FirstEdge;
    Graph->G[E->V1].FirstEdge = NewNode;

    //若为无向图 则还要插入边<V2,V1>
    //为V2建立新的邻接点
    NewNode = (PtrToAdjVNode) malloc(sizeof(struct AdjVNode));
    NewNode->AdjV = E->V1;
    NewNode->Weight = E->Weight;
    //将V2邻接点插入V1的表头
    NewNode->Next = Graph->G[E->V2].FirstEdge;
    Graph->G[E->V1].FirstEdge = NewNode;
}

完整的建立一个 LGraph

仅需将 MGraph 换成 LGraph，将存 Data 是稍作更改即可

LGraph BuildGraph() {
    LGraph Graph;
    Edge E;
    Vertex V;
    int Nv;
    cin >> Nv;
    Graph = CreateGraph(Nv);//建立有Nv个顶点的图
    cin >> Graph->Ne;//边数Ne
    if(Graph->Ne != 0) {
        E = (Edge)malloc(sizeof(struct ENode));
        for (int i = 0; i < Graph->Ne; i++) {
            cin >> E->V1 >> E->V2 >> E->Weight;
            InsertEdge(Graph, E);
        }
    }
    //如果顶点有数据的话，读入数据
    for(V = 0; V < Graph->Nv; V++) {
        cin >> Graph->G[V].Data;
    }
    return Graph;
}

二、最短路径问题

1.概念简介

在网络中，求两个不同顶点之间的所有路径中，边的权值之和最小的那一条路径
- 这条路径就是两点之间的最短路径(Shortest Path)
- 第一个顶点叫源点(Source)
- 最后一个顶点叫终点(Destination)

2.问题分类

单源最短路径问题：从某固定源点出发，求其到所有其他顶点的最短路径
- (有向)无权图
- (有向)有权图
多源最短路径问题：求任意两顶点之间的最短路径

2.无权图的单源最短路算法

按照递增的顺序找出到各个顶点的最短路，与 BFS 思想很类似！在这里插入图片描述首先需要定义一个数组 dist,dist[W]存储 S 到 W 的最短距离，S 为起点，dist[S]=0，dist 需要被初始化成一个-1(或无穷)，便于后来的判别是否被访问过。其次需要定义数组 path,path[W]存储 S 到 W 的路上经过的某顶点。 dist 和 path 数组都需先被初始化为-1~然后将起点的 dist[S]设为 0，压入队列开始访问伪代码：

void Unweighted(Vertex S) {
 Enqueue(S, Q);
 while(!IsEmpty(Q)) {
  V = Dequeue(Q);
  for (V的每个邻接点W)
   if(dist[W] == -1) {
    dist[W] = dist[V]+1;
    path[W] = V;
    Enqueue(W, Q);
   }
 }
}

3.有权图的单源最短路算法

在这里插入图片描述

Dijkstra 算法

令 s={源点 s + 已经确定了最短路径的顶点 vi }
对任一未收录的顶点 v 定义 dist[v]为 s 到 v 的最短路径长度，但该路径仅经过 S 中的顶点，即路径{s→(vi∈S)→v}的最小长度
若路径是按照递增的顺序生成的，则
- 真正的最短路必须只经过 S 中的顶点(反证法可证)
- 每次从未收录的顶点中选一个 dist 最小的收录(贪心)
- 增加一个 v 进入 S,可能会影响另外一个 w 的 dist 值！(所以要检查 v 的所有邻接点 w！)
- dist[w] = min{ dist[w]，dist[v] + <v,w>的权重} dist 初始化：S 的所有邻接点 W 的 dist 都可初始化为 s 与 w 的权重，其他则定义为正无穷。

伪代码描述：

void Dijkstra(Vertex s) {
 while (1){
  V = 未收录顶点中dist最小者;
  if (这样的V不存在)
   break;
  collected[V] = true;
  for (V的每个邻接点W)
   if(collected[W] == false)
    if(dist[V] + E<v,w> < dist[W]) {
     dist[W] = dist[V]+E<v,w>;
     path[W] = V;
    }
 }
}//不能解决有负边的情况

伪代码中 dist[W]=dist[V]+E~<V,W>~；并不是简单的赋值，而是如果有了更短的距离，需要将其更新成为更短的距离在这里插入图片描述

Dijkstra 核心代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn = 1005;
const int inf  = 0x3f3f3f;
int T,N,x,y,z;
int edge[maxn][maxn];
int dist[maxn];
bool vis[maxn];
void init() {
    for(int i = 1; i <= N; ++i) {
        for(int j = 1; j <= N; ++j) {
            edge[i][j] = inf;
        }
        edge[i][i] = 0;
    }
}
void Dijstra(int u) {
    for(int i = 1; i <= N; ++i) {
        vis[i] = false;
        dist[i] = edge[u][i];
    }
    vis[u] = true;
    for(int i = 1; i <= N; ++i) {
        int t, mindis = inf;
        for(int j = 1; j <= N; ++j) {
            if(!vis[j] && dist[j] < mindis) {
                mindis = dist[j];
                t = j;
            }
        }
        vis[t] = true;
        for(int j = 1; j <= N; ++j)
            if(!vis[j] && dist[j] > edge[t][j] + dist[t])
                dist[j] = edge[t][j] + dist[t];
    }
}

三、最小生成树

1.什么是最小生成树(Minimum Spanning Tree)

是一棵树
- 无回路
- |V|个顶点一定有|V|-1 条边
是生成树
- 包含全部顶点
- |V|-1 条边都在图里
- 向生成树中任加一条边都一定构成回路
边的权重和最小

最小生成树与图连通等价

2.解决最小生成树问题

通常离不开贪心算法：

“贪”：每一步都要最好的
“好”：权重最小的边
需要约束：
- 只能用图里有的边
- 只能正好用掉|V|-1 条边
- 不能有回路

放到了另一篇博客里。图论——解决最小生成树问题(Kruskal 算法&Prim 算法)

数据结构学习笔记＜7＞ 图

一、图